尼奎斯特-香农采样定理指出，离散采样频率至少是信号最高频率的两倍，才能准确恢复连续信号。在地球物理数据采集中，时间采样很容易满足这一要求，但有时由于非规则观测系统和观测区域有限，难以实现足够的空间采样。基于特定变换的稀疏性，地震信号可以用少量稀疏系数进行表征。这种稀疏信号表示和相关的压缩感知方法有助于消除不规则观测的影响，已广泛应用于数据重建、噪声压制和模型参数反演。地震信号的低秩特征表明，信号可以被少数奇异值准确重构。
地震成像方法已经从早期的射线偏移，单程波动方程偏移发展到逆时偏移（RTM）。所有这些方法都使用正向模拟的伴随算子，而不是逆算子。因此，由于有限的采集孔径、有限的频带和
均衡的照明，很难产生准确的图像。通过求解一个线性反问题，最小二乘偏移（LSM）可以校正Hessian效应，显著提高成像质量。此外，为了减少数据过拟合假象，不同的正则化方法得以发展，包括Tikhonov和整形正则化、曲波域稀疏约束以及全变分（TV）正则化。利用局部低秩稀疏表示方法，在LSM中引入低秩正则化方法来估计声介质和粘声介质的地下反射率。采用最小二乘数据拟合和加权核范数最小化的两步法方法来求解低秩约束反演问题。
研究成果探索了地震反射率模型的全局和局部低秩表示。在全局奇异值分解（SVD）中，特征向量表示从低波数到高波数排列的水平和垂直地层段，相应的特征值是这些基本特征对宽带反射率模型的权值。相比之下，局部SVD可以有效地捕获反射率模型中的非局部相似性，与全局SVD方法相比能够以更稀疏地表示反射率模型。局部SVD的这一特性使得秩小于10的反射率模型重建成为可能，而秩大于100的全局SVD则无法准确恢复（图1）。这些结果表明，基于局部奇异值分解的低秩表示方法比全局方法具有更好的稀疏性。利用地震成像可以估计地下反射率模型，研究成果证明了相较于传统的平滑约束和全变分约束，低秩约束针对复杂结构和低信噪比数据能够得到更高质量的反射率成像结果（图2）。
图1.利用全局和局部svd重建F3数据的反射率图像
a、c、e、g是使用秩数分别为10、20、50和100的全局SVD的结果。b、d、f、h是使用秩号分别为1、2、3和10的局部SVD的结果
图2.实际资料偏移结果
a.逆时偏移，b.最小二乘逆时偏移，c.整形正则化的最小二乘偏移，d.全变分正则化最小二乘偏移，e.低秩正则化最小二乘偏移，f.整形+低秩正则化最小二乘偏移
研究成果近期发表在地学领域国际重要期刊Surveys in Geophysics。论文第一作者为中国石油大学（华东） 李振春教授带领的地震波传播与成像课题组杨继东，合作者包括中国石油大学（华东）黄建平、张浩、孙加星以及德克萨斯大学达拉斯分校祝贺君和George McMechan。
论文信息：Ji-Dong Yang, Jian-Ping Huang, Hao Zhang, Jia-Xing Sun, HeJun Zhu, George McMechan, 2024, Low-rank Representation for Seismic Refectivity and its Applications in Least squares Imaging. Surveys in Geophysics, https://doi.org/10.1007/s10712-024-09828-w.
